О СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ И СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНОГО БИГАРМОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
Ключевые слова:
Спектральная задача, нелокальный оператор, бигармонический оператор, задача Дирихле, задача Неймана, задача Самарского-Ионкина, собственные функции, собственные значения, присоединенные функции, полнота.Аннотация
В данной работе вводится понятие нелокального бигармонического
оператора. При введении этого оператора используются отображения типа инволюции. А
именно в дифференциальном выражении этого оператора кроме переменных 1 2 ( , ,..., ) n x x x x
участвуют также преобразованные аргументы с отображениями вида
1 1 1 ,..., , , ,..., ,1 j j j j j n S x x x p x x x j n и их произведения. В n-мерном параллелепипеде
для заданного нелокального бигармонического оператора рассматриваются спектральные
задачи с краевымы условиями типа Дирихле и Неймана. В явном виде построены
собственные функции и собственные значения рассматриваемых задач. При построении этих
элементов существенно используются собственные функции и собственные значения
классического бигармонического оператора с краевымы условиями типа Дирихле и Неймана.
Доказаны теоремы о ортономированности и полноты систем собственных функций
рассматриваемых задач. Приведены примеры соответствующии для частных случаев
параметров участвующих в рассматриваемых задачах. Кроме того, в двухмерном случае для
соответствующего нелокального бигармонического оператора исследованы также
спектральные вопросы краевых задач типа Самарского-Ионкина. Найдены собственные и
присоединенные функции рассматриваемой задачи и доказаны теоремы о полноте данных
систем.
Библиографические ссылки
Karachik V.V., Sarsenbi A.M., Turmetov B.Kh. On the solvability of the main boundary
value problems for a nonlocal Poisson equation// Turkish journal of mathematics. – 2019.
– Vol.43, No.3. – P.1604 – 1625. doi:10.3906/mat-1901-71
Турметов Б.Х., Карачик В. В. О разрешимости краевых задач Дирихле и Неймана
для уравнения Пуассона с множественной инволюцией // Вестник Удмуртского
университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. – 2021. – Т.31, № 4. –
P. 651 – 667. DOI: 10.35634/vm210409.
Turmetov B., Karachik V. On Eigenfunctions and Eigenvalues of a Nonlocal Laplace
Operator with Multiple Involution // Symmetry. – 2021. – Vol.13, No. 1781. – P. 1 – 20.
https://doi.org/ 10.3390/ sym13101781.
Turmetov B.Kh., Karachik V.V. Solvability of nonlocal Dirichlet problem for generalized
Helmholtz equation in a unit ball// Complex Variables Elliptic Equation. – 2023. –
Vol.68, No.7. – P. 1204–1218. DOI: 10.1080/17476933.2022.2040021.
Yarka U., Fedushko S., Vesely P. The Dirichlet Problem for the Perturbed Elliptic
Equation// Mathematics. – 2020. – Vol.8, No.2108. – P. 1 – 13.
doi:10.3390/math8122108.
Turmetov B.K., Kadirkulov B.J. On the solvability of an initial-boundary value problem
for a fractional heat equation with involution// Lobachevskii Journal of Mathematics. –
– Vol.43, No.1. – P. 249 – 262. doi.org/10.1134/S1995080222040217.
Турметов Б.Х., Кадиркулов Б.Ж. О разрешимости некоторых краевых задач для
дробного аналога нелокального уравнения Лапласа// Итоги науки и техники. Серия
«Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». – 2022. – Т.211. – С.14 – 28. DOI: https://doi.org/10.36535/0233-6723-2022-211-14-28.
Турметов Б., Шалхар А. О спектральных вопросах некоторых краевых задач для нелокального оператора Лапласа в прямоугольнике// Известия Международного казахско-турецкого университета имени Х.А. Ясави. Серия Математика, Физика, Информатика. – 2022. No.1. – P. 79 – 96.
Aziz S., Malik S.A. Identification of an unknown source term for a time fractional fourth-order parabolic equation// Electronic journal of differential equations. – 2016. – 2016, No.293.– P.1–20.
Kerbal S., Kadirkulov B.J., Kirane M. Direct and Inverse Problems for a Samarskii-Ionkin Type Problem for a Two-Dimensional Fractional Parabolic Equation// Progress in Fractional Differentiation and Applications. – 2018. –Vol. 4, No.3. –P.147–160. doi:10.18576/pfda/040301.
Muratbekova, M., Kadirkulov B., Koshanova M., Turmetov B. On Solvability of Some Inverse Problems for a Fractional Parabolic Equation with a Nonlocal Biharmonic Operator// Fractal and Fractional. – 2023. – Vol.7, No.404. – P.1–18. https://doi.org/10.3390/fractalfract7050404.
Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. Учебное пособие для вузов.М:, «Высшая школа». 1977. 431 с. 13. Владимиров В.С.Уравнения математической физики. М:, Наука, 1988. 512с.
Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием//Дифференциальные уравнения. – 1977. – Т.13, № 2 –С.294 – 304.
Ионкин Н.И., Морозова В. А. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевыми условиями//Дифференциальные уравнения. – 2000, – Т.36, № 7, – С. 884–888. DOI:https://doi.org/10.1007/BF02754498.
Karachik V.V., Sarsenbi A.M., Turmetov B.Kh. On the solvability of the main boundary value problems for a nonlocal Poisson equation// Turkish journal of mathematics. – 2019. – Vol.43, No.3. – P.1604 – 1625. doi:10.3906/mat-1901-71
Turmetov B. Kh., Karachik V. V. On the solvability of Dirichlet and Neumann boundary value problems for the Poisson equation with multiple involution// Vestnik Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer science. – 2021. – Т. 31, № 4. – P. 651 – 667. DOI: 10.35634/vm210409. [In Russian].
Turmetov B., Karachik V. On Eigenfunctions and Eigenvalues of a Nonlocal Laplace Operator with Multiple Involution // Symmetry. – 2021. – Vol.13, No. 1781. – P. 1 – 20. https://doi.org/ 10.3390/ sym13101781.
Turmetov B.Kh., Karachik V.V. Solvability of nonlocal Dirichlet problem for generalized Helmholtz equation in a unit ball// Complex Variables Elliptic Equation. – 2023. – Vol.68, No.7. – P. 1204–1218. DOI: 10.1080/17476933.2022.2040021.
Yarka U., Fedushko S., Vesely P. The Dirichlet Problem for the Perturbed Elliptic Equation// Mathematics. – 2020. – Vol.8, No.2108. – P. 1 – 13. doi:10.3390/math8122108.
Turmetov B.K., Kadirkulov B.J. On the solvability of an initial-boundary value problem for a fractional heat equation with involution// Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2022. – Vol.43, No.1. – P. 249 – 262. doi.org/10.1134/S1995080222040217.
Turmetov B.Kh., Kadirkulov B.Zh. On the solvability of some boundary value problems for the fractional analogue of the nonlocal Laplace equation // Results of science and technology. The series «Modern Mathematics and its applications. Thematic reviews». – 2022. – Т.211. – P.14 – 28. DOI: https://doi.org/10.36535/0233-6723-2022-211-14-28. [In Russian].
Turmetov B., Shalkhar A. On spectral questions of some boundary value problems for a non-local Laplace operator in a rectangle // Proceedings of the International Kazakh-Turkish University named after H.A. Yasavi. Series Mathematics, Physics, Computer Science.– 2022. No.1. – P. 79 – 96. [In Russian].
Aziz S., Malik S.A. Identification of an unknown source term for a time fractional fourth-order parabolic equation// Electronic journal of differential equations. – 2016. – 2016, No.293.– P.1–20.
Kerbal S., Kadirkulov B.J., Kirane M. Direct and Inverse Problems for a Samarskii-Ionkin Type Problem for a Two-Dimensional Fractional Parabolic Equation// Progress in Fractional Differentiation and Applications. – 2018. –Vol. 4, No.3. –P.147–160. doi:10.18576/pfda/040301.
Muratbekova, M., Kadirkulov B., Koshanova M., Turmetov B. On Solvability of Some Inverse Problems for a Fractional Parabolic Equation with a Nonlocal Biharmonic Operator// Fractal and Fractional. – 2023. – Vol.7, No.404. – P.1–18. https://doi.org/10.3390/fractalfract7050404.
Mikhlin S. G. Linear partial differential equations. Study guide for universities.М:, «High School ». 1977. 431 p. [In Russian]. 13. Vladimirov V.S. Equations of mathematical physics. М:, The science, 1988. 512p. [In Russian].
Ionkin N.I. Solution of one boundary value problem of the theory of thermal conductivity with a non-classical boundary condition // Differential equations. – 1977. – Т.13, № 2 –P.294 – 304. [In Russian].
Ionkin N.I., Morozova V. A. Two-dimensional heat equation with non-local boundary conditions // Differential equations. –2000, –Т.36, №7, –P. 884–888. DOI:https://doi.org/10.1007/BF02754498. [In Russian].
