Об операторном методе построения решения интегральных и дифференциальных уравнений с особеностью
Об операторном методе построения решения интегральных и дифференциальных уравнений с особеностью
Ключевые слова:
интеграл дробного порядка, дробная производная, интегральное уравнение, дифференциальное уравнение, нормированная система, операторный метод, явное решение, функция типа Миттаг-Леффлера.Аннотация
В настоящей работе рассматриваются новые классы дробного интеграла и производной. Данные операторы являются обобщениями известных интегралов и производной Римана-Лиувилля и производной Капуто. В статье рассматривается операторный метод решения интегральных и дифференциальных уравнений дробного порядка. Данный метод основан на построении нормированных систем относительно интегральных и дифференциальных операторов. Алгоритм построения нормированных систем задается в виде четырех шагов. Данный метод сперва применяется для построения решения линейных интегральных уравнений с постоянными коэффициентами. Доказывается теорема о существовании и единственности решения рассматриваемого интегрального уравнения. Решения определяются в явном виде и показывается их представимость через мультивариантных функции типа Миттаг-Леффлера В последующих разделах статьи находятся общее решение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений дробного порядка. Эти решения определяются в явном виде и они представляются через мультивариантных функции типа Миттаг-Леффлера.
Библиографические ссылки
Kochubei A., Luchko Y. Handbook of Fractional Calculus with Applications. Volume 2:
Fractional Differential Equations. Edited by J. A. Tenreiro Machado. Berlin, Boston: De
Gruyter, 2019. –527 p.
Kochubei A., Luchko Y. Handbook of Fractional Calculus with Applications. Volume 4:
Applications in Physics, Part A. Edited by V. E. Tarasov. Berlin, Boston: De Gruyter,
– 314 p.
Қ.А. Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университетінің хабарлары
(математика, физика, информатика сериясы), №3 (26), 2023
Kochubei A., Luchko Y. Handbook of Fractional Calculus with Applications. Volume 7: Applications in Engineering, Life and Social Sciences, Part A. Edited by D. Baeanu, A. M. Lopes. Berlin, Boston: De Gruyter, 2019. – 259 p. 4. Pskhu A.V. Initial-value problem for a linear ordinary differential equation of noninteger order// Sb. Math., – 2011. – – Vol.202, No. 4. – P.571–582. 5. Kilbas A. A. Новые направления в теории дробных интегральных и дифференциальных уравнений// Учён. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2005. – T. 147. – C.72–106. 6. Мажгихова М.Г.Обобщенная задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом с производной Джрбашяна – Нерсесяна//Доклады АМАН. – 2022. – Vol. 22, No.4. – P.11 – 17. 7. Al-Refai M., Luchko Y. The General Fractional Integrals and Derivatives on a Finite Interval. Mathematics. – 2023. – Vol.11, No.1031. – P.1 – 13. 8. Tarasov V.E. Scale-Invariant General Fractional Calculus: Mellin Convolution Operators// Fractal and Fractional. – 2023. – Vol.7, No.481. – P.1 – 25. 9. Saleh M. H., Mohamed D.Sh., Ahmed M.H., Marjan M.K. System of Linear Fractional Integro-Differential Equations by using Adomian Decomposition Method//International Journal of Computer Applications. – 2015. – Vol.121, No.24. – P.1 – 11. 10. Бондаренко Б. А. Операторные алгоритмы в дифференциальных уравнениях. - Ташкент : Фан, 1984. - 183 с. 11. Karachik V.V. Normalized system of functions with respect to the Laplace operator and its applications// Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 2003. – Vol.287, No.2. – P. 577–592. 12. Karachik V.V. Method for constructing solutions of linear ordinary differential equations with constant coefficients // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2012. – Vol.52. – P. 219–234. 13. Ashurov P., Cabada A., Turmetov B. Operator method for construction of solutions of linear fractional differential equations with constant coefficients// Fractional Calculus and Applied Analysis. – 2016. – Vol.19, No.1. – P. 229–252. 14. Shinaliyev K., Turmetov B., Umarov S.A fractional operator algorithm method for construction of solutions of fractional order differential equations//Fractional Calculus and Applied Analysis. – 2012. – Vol.15, No.2. – P. 267–281. 15. Turmetov B. Kh. On a method for constructing a solution of integro-differential equations of fractional order //Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. – 2018. – No. 25. – P.1–14. 16. Turmetov B.K., Usmanov K.I., Nazarova K.Z. On the Operator Method for Solving Linear Integro-Differential Equations with Fractional Conformable Derivatives// Fractal Fractional. – 2021. – Vol.5, No.109. – P.1 – 21. 17. Turmetov B. On Certain Operator Method for Solving Differential Equations// Filomat. – 2017. – Vol.31. – P.4275–4286. 18. Katugampola U.N. A new approach to generalized fractional derivatives//Bull. Math. Anal. Appl. – 2014. – Vol.6. -- P. 1-15. 19. Jarad F., Ugurlu E., Abdeljawad T., Baleanu D. On a new class of fractional operators // Advances in Difference Equations. – 2017. – Vol.2017, No.247. – P.1 –16. 20. Hadid S.B., Luchko Y. An operational method for solving fractional differential equations of an arbitrary real order// Panamerican Mathematical Journal. – 1996. – Vol.6. – P. 57-73. 21. Gorenflo R., Luchko Y. Operationl method for solving generalized Abel integral equation of second kind // Integral Transforms and Special Functions. – 1997. – Vol.5, No.1-2. – P.47 – 58.
REFERENCES
Kochubei A., Luchko Y. Handbook of Fractional Calculus with Applications. Volume 2: Fractional Differential Equations. Edited by J. A. Tenreiro Machado. Berlin, Boston: De Gruyter, 2019. –527 p. 2. Kochubei A., Luchko Y. Handbook of Fractional Calculus with Applications. Volume 4: Applications in Physics, Part A. Edited by V. E. Tarasov. Berlin, Boston: De Gruyter, 2019. – 314 p. 3. Kochubei A., Luchko Y. Handbook of Fractional Calculus with Applications. Volume 7: Applications in Engineering, Life and Social Sciences, Part A. Edited by D. Baeanu, A. M. Lopes. Berlin, Boston: De Gruyter, 2019. – 259 p. 4. Pskhu A.V. Initial-value problem for a linear ordinary differential equation of noninteger order// Sb. Math., – 2011. – – Vol.202, No. 4. – P.571–582. 5. Kilbas A. A. Новые направления в теории дробных интегральных и дифференциальных уравнений// Учён. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2005. – T. 147. – C.72–106. 6. Мажгихова М.Г.Обобщенная задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом с производной Джрбашяна – Нерсесяна//Доклады АМАН. – 2022. – Vol. 22, No.4. – P.11 – 17. 7. Al-Refai M., Luchko Y. The General Fractional Integrals and Derivatives on a Finite Interval. Mathematics. – 2023. – Vol.11, No.1031. – P.1 – 13. 8. Tarasov V.E. Scale-Invariant General Fractional Calculus: Mellin Convolution Operators// Fractal and Fractional. – 2023. – Vol.7, No.481. – P.1 – 25. 9. Saleh M. H., Mohamed D.Sh., Ahmed M.H., Marjan M.K. System of Linear Fractional Integro-Differential Equations by using Adomian Decomposition Method//International Journal of Computer Applications. – 2015. – Vol.121, No.24. – P.1 – 11. 10. Бондаренко Б. А. Операторные алгоритмы в дифференциальных уравнениях. - Ташкент : Фан, 1984. - 183 с. 11. Karachik V.V. Normalized system of functions with respect to the Laplace operator and its applications// Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 2003. – Vol.287, No.2. – P. 577–592. 12. Karachik V.V. Method for constructing solutions of linear ordinary differential equations with constant coefficients // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2012. – Vol.52. – P. 219–234. 13. Ashurov P., Cabada A., Turmetov B. Operator method for construction of solutions of linear fractional differential equations with constant coefficients// Fractional Calculus and Applied Analysis. – 2016. – Vol.19, No.1. – P. 229–252. 14. Shinaliyev K., Turmetov B., Umarov S.A fractional operator algorithm method for construction of solutions of fractional order differential equations//Fractional Calculus and Applied Analysis. – 2012. – Vol.15, No.2. – P. 267–281. 15. Turmetov B. Kh. On a method for constructing a solution of integro-differential equations of fractional order //Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. – 2018. – No. 25. – P.1–14.
Turmetov B.K., Usmanov K.I., Nazarova K.Z. On the Operator Method for Solving Linear Integro-Differential Equations with Fractional Conformable Derivatives// Fractal Fractional. – 2021. – Vol.5, No.109. – P.1 – 21.
Turmetov B. On Certain Operator Method for Solving Differential Equations// Filomat. – 2017. – Vol.31. – P.4275–4286.
Katugampola U.N. A new approach to generalized fractional derivatives//Bull. Math. Anal. Appl. – 2014. – Vol.6. -- P. 1-15. 19. Jarad F., Ugurlu E., Abdeljawad T., Baleanu D. On a new class of fractional operators // Advances in Difference Equations. – 2017. – Vol.2017, No.247. – P.1 –16. 20. Hadid S.B., Luchko Y. An operational method for solving fractional differential equations of an arbitrary real order// Panamerican Mathematical Journal. – 1996. – Vol.6. – P. 57-73. 21. Gorenflo R., Luchko Y. Operationl method for solving generalized Abel integral equation of second kind // Integral Transforms and Special Functions. – 1997. – Vol.5, No.1-2. – P.47 – 58.
