О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С ИНВОЛЮЦИЕЙ

3 2

Аннотация

В данной статье в классе гладких функций определяются некоторые линейные операторы с преобразованием аргументов. Эти операторы вводятся с помощью матриц отображений типа инволюции. Далее указанные операторы используются для определения нелокального аналога оператора Лапласа и соответствующих граничных операторов. Для полученного нелокального аналога уравнения Пуассона исследуются вопросы разрешимости некоторых краевых задач. Граничные условия рассматриваемых задач задаются в виде связей между значениями искомой функции в различных точках и, таким образом, относятся к задачам типа Бицадзе–Самарского. Доказываются теоремы о существовании и единственности решения исследуемых задач. Показано, что корректность рассматриваемых задач существенно зависит от коэффициентов введённых линейных операторов преобразования. С использованием функции Грина для классических задач Дирихле и Неймана построен явный вид функции Грина рассматриваемых задач. Кроме того, с помощью построенных функции Грина получены также интегральные представления решений этих задач. Кроме того, в работе рассматривается структура операторов преобразования и анализируются их свойства, влияющие на устойчивость решения. Проводится сравнение полученных результатов с классическими локальными моделями, что позволяет выявить преимущества нелокального подхода. Отмечается, что предложенные методы могут быть применены и к другим типам эллиптических уравнений, содержащим преобразование аргументов.