ПОЛИГАРМОНИЯЛЫҚ ОПЕРАТОРДЫҢ ТИЯНАҚТЫ ТАРЫЛУЫ ТУРАЛЫ
Аңдатпа
Эллиптикалық теңдеулер үшін шеттік есептерді зерттеу қажеттілігі гидродинамика, электростатика, механика, жылу өткізгіштік, серпімділік теориясы, кванттық физика процестерін теориялық тұрғыдан зерттеуде көптеген практикалық қосымшалардың түсіндіруімен тікелей байланысты. Электростатикалық өрістің потенциалының таралуы Пуассон теңдеуі арқылы сипатталады, ал кішігірім ауытқулардың жұқа тақтайшаларының тербелістерін зерттеу кезінде бигармониялық теңдеулер туындайды.
Бұл жұмыс полигармониялық теңдеулерді зерттеуге арналған, оның ішінде көп өлшемді шарда полигармониялық теңдеу үшін классикалық Дирихле есебінің Грин функциясы құрылған және полигармониялық оператор үшін тиянақты қойылған шеттік есептерін сипаттауға арналған.
Пуассон теңдеуі үшін Дирихле есебінің Грин функциясын құрудың әр түрлі тәсілдері бар. Облыстардың көптеген түрлері үшін ол айқын түрде құрылған. Көпөлшемді облыстарда Нейман есебі үшін Грин функциясын құру осы күнге дейін ашық мәселе болып табылады.
Дифференциалдық теңдеулер үшін жалпы тиянақты қойылған шеттік есептерін табу әрқашанда өзекті мәселе болып табылады. Өткен ғасырдың 80-ші жылдарының басында Қазақстан Республикасы Ұлттық Ғылым академиясының академигі М. Өтелбаев пен оның шәкірттері абстрактылы теорияны құрды. Осы теорияның негізінде, бір-біріне тәуелсіз, кейбір максималды оператордың барлық тиянақты тарылуларын және кейбір минимал оператордың барлық тиянақты кеңейюлерін, кері оператордың терминінде (тұрғысынан), сипаттауға болатындыгы көрсетілді.
Бұл жұмыста біз операторлардың тарылуы мен кеңею теориясын қысқаша келтіреміз және полигармониялық оператор үшін көп өлшемді шарда тиянақты қойылған шеттік есептерін сипаттаймыз.
Әдебиеттер тізімі
Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука. 1974. - 808 с.
Sadybekov M.A., Torebek B.T., Turmetov B.Kh. Representation of Green's function of the Neumann problem for a multi-dimensional ball // Complex Variables and Elliptic Equations. 2016. V. 61, № 1. - P. 104-123.
Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh., Torebek B.T. On an explicit form of the Green function of the Roben problem for the Laplace operator in a circle // Adv. Pure Appl. Math. 2015. V. 3, № 6. - P. 163-172.
Kalmenov T.Sh., Koshanov B.D., Nemchenko M.Y. Green function representation for the Dirichlet problem of the polyharmonic equation in a sphere // Complex Variables and Elliptic Equations. 2008. V. 2, № 53. - P. 177-183. Doi: http://dx.doi.org/10.1080/17476930701671726
Kalmenov T.Sh., Koshanov B.D. Representation for the Green’s function of the Dirichlet problem for the polyharmonic equations in a ball // Siberian Mathematical Journal. 2008. V. 3, № 49. - P. 423-428. Doi: http://dx.doi.org/10.1007/s11202-008-0042-8
Kalmenov T.Sh., Suragan D. On a new method for constructing the Green's function of the Dirichlet problem for a polyharmonic equation // Differential Equations. 2012. Т. 48, №3. - P. 435-438. Doi: http://dx.doi.org/10.1134/S0012266112030160
Begehr H. Biharmonic Green functions // Le matematiche. 2006. № 61. - P. 395-405.
Wang Y., Ye L. Biharmonic Green function and biharmonic Neumann function in a sector // Complex Variables and Elliptic Equations. 2013. V. 1, № 58. - P. 7-22.
Wang Y. Tri-harmonic boundary value problems in a sector // Complex Variables and Elliptic Equations. 2014. V. 5, № 59. - P. 732-749.
Begehr H., Vu T.N.H., Z.-X. Zhang. Polyharmonic Dirichlet Problems // Proceedings of the Steklov Institute of Math. 2006. №255. – P. 13-34.
Begehr H., Du J., Wang Y. A Dirichlet problem for polyharmonic functions // Ann. Mat. Pura Appl. 2008. №187(4). – C. 435-457.
Begehr H., Vaitekhovich T. Harmonic boundary value problems in half disc and half ring // Funct. Approx. Comment. Math. 2009. №40(2). – P. 251-282.
Begehr H., Vaitekhovich T. Modified harmonic Roben function // Complex Variables and Elliptic Equations. 2013. V. 4, № 58. – P. 483-496.
J.von Neumann. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren // Math. Ann. 1929. V. 102. - P. 49-131.
Вишик М.И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений // Труды Матем. о-ва. 1952. № 3. - C. 187-246.
Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Матем. сб. 1954. №35(77). - С. 1307-1311.
Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Доклады АН СССР. 1969. Т. 185, № 4. - C. 739-740.
Dezin A.A. Partial differential equations. - Berlin etc.: Springer-Verlag, 1987.
Кокебаев Б.К., Отелбаев М., Шыныбеков А.Н. К теории сужения и расширения операторов I // Известие АН КазССР. Сер. физ-мат. 1982. № 5. - C. 24-27.
Кокебаев Б.К., Отелбаев М., Шыныбеков А.Н. К теории сужения и расширения операторов II // Известие АН КазССР. Сер. физ-мат. 1983. № 1. - C. 24-27.
Отелбаев М., Кокебаев Б.К., Шыныбеков А.Н. К вопросам расширения и сужения операторов // Доклады АН СССР. - 1983. Т. 6, № 271. - C. 1307-1311.
Ойнаров Р., Парасиди И.Н. Корректно разрешимые расширения операторов с конечными деффектами в банаховом пространстве // Известие АН КазССР. Сер. физ-мат. 1988. № 5. - C. 35-44.
Koshanov B.D., Otelbaev M.O. Correct Contractions stationary Navier-Stokes equations and boundary conditions for the setting pressure // AIP Conference Proceedings. 2016. №1759. V. 1759, 020005, http://dx.doi.org/10.1063/1.4959619
Kanguzhin B.E. Changes in a finite part of the spectrum of the Laplace operator unter delta-like perturbations // Differential Equations. 2019. V. 10, № 55. - P. 1428-1335.
Kanguzhin B.E., Tulenov K.S. Singular perturbations Changes of Laplace operator and their recolvents // Complex Variables and Elliptic Equations. 2020. V. 9, № 65. - P. 1433-1444.
Biyarov B.N., Svistunov D.L., Abdrasheva G.K. Correct singular perturbations of the Laplace operator // Eurasian Mathematical Journal. 2020. V. 4, № 11. - P. 25-34.
