О КОРРЕКТНЫХ СУЖЕНИЯХ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
Аннотация
Необходимость исследования краевых задач для эллиптических уравнений продиктована с многочисленными практическими приложениями при теоретическом изучении процессов гидродинамики, электростатики, механики, теплопроводности, теории упругости, квантовой физики. Распределения потенциала электростатического поля описываются с помощью уравнения Пуассона, а при исследовании колебаний тонких пластин малых прогибов возникают бигармонические уравнения.
Настоящая работа посвящена исследованию полигармонического уравнения, в том числе, построению функции Грина классической задачи Дирихле для полигармонического уравнения в многомерном шаре и описанию корректных краевых задач для полигармонического оператора.
Существуют различные способы построения функции Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Для многих видов областей она построена в явном виде. А для задачи Неймана в многомерных областях построение функции Грина является открытой задачей.
Нахождение общих корректных краевых задач для дифференциальных уравнений всегда является актуальной задачей. В начале 80-х годов прошлого столетия Академиком НАН РК М.О. Отелбаевым и его учениками была построена абстрактная теория, которая позволяет описать все корректные сужения некоторого максимального оператора и отдельно - все корректные расширения некоторого минимального оператора, независимо друг от друга, в терминах обратного оператора.
В данной работе кратко изложена теория сужения и расширения операторов и описаны корректные краевые задачи для полигармонического оператора в многомерном шаре.
Библиографические ссылки
Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука. 1974. - 808 с.
Sadybekov M.A., Torebek B.T., Turmetov B.Kh. Representation of Green's function of the Neumann problem for a multi-dimensional ball // Complex Variables and Elliptic Equations. 2016. V. 61, № 1. - P. 104-123.
Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh., Torebek B.T. On an explicit form of the Green function of the Roben problem for the Laplace operator in a circle // Adv. Pure Appl. Math. 2015. V. 3, № 6. - P. 163-172.
Kalmenov T.Sh., Koshanov B.D., Nemchenko M.Y. Green function representation for the Dirichlet problem of the polyharmonic equation in a sphere // Complex Variables and Elliptic Equations. 2008. V. 2, № 53. - P. 177-183. Doi: http://dx.doi.org/10.1080/17476930701671726
Kalmenov T.Sh., Koshanov B.D. Representation for the Green’s function of the Dirichlet problem for the polyharmonic equations in a ball // Siberian Mathematical Journal. 2008. V. 3, № 49. - P. 423-428. Doi: http://dx.doi.org/10.1007/s11202-008-0042-8
Kalmenov T.Sh., Suragan D. On a new method for constructing the Green's function of the Dirichlet problem for a polyharmonic equation // Differential Equations. 2012. Т. 48, №3. - P. 435-438. Doi: http://dx.doi.org/10.1134/S0012266112030160
Begehr H. Biharmonic Green functions // Le matematiche. 2006. № 61. - P. 395-405.
Wang Y., Ye L. Biharmonic Green function and biharmonic Neumann function in a sector // Complex Variables and Elliptic Equations. 2013. V. 1, № 58. - P. 7-22.
Wang Y. Tri-harmonic boundary value problems in a sector // Complex Variables and Elliptic Equations. 2014. V. 5, № 59. - P. 732-749.
Begehr H., Vu T.N.H., Z.-X. Zhang. Polyharmonic Dirichlet Problems // Proceedings of the Steklov Institute of Math. 2006. №255. – P. 13-34.
Begehr H., Du J., Wang Y. A Dirichlet problem for polyharmonic functions // Ann. Mat. Pura Appl. 2008. №187(4). – C. 435-457.
Begehr H., Vaitekhovich T. Harmonic boundary value problems in half disc and half ring // Funct. Approx. Comment. Math. 2009. №40(2). – P. 251-282.
Begehr H., Vaitekhovich T. Modified harmonic Roben function // Complex Variables and Elliptic Equations. 2013. V. 4, № 58. – P. 483-496.
J.von Neumann. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren // Math. Ann. 1929. V. 102. - P. 49-131.
Вишик М.И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений // Труды Матем. о-ва. 1952. № 3. - C. 187-246.
Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Матем. сб. 1954. №35(77). - С. 1307-1311.
Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Доклады АН СССР. 1969. Т. 185, № 4. - C. 739-740.
Dezin A.A. Partial differential equations. - Berlin etc.: Springer-Verlag, 1987.
Кокебаев Б.К., Отелбаев М., Шыныбеков А.Н. К теории сужения и расширения операторов I // Известие АН КазССР. Сер. физ-мат. 1982. № 5. - C. 24-27.
Кокебаев Б.К., Отелбаев М., Шыныбеков А.Н. К теории сужения и расширения операторов II // Известие АН КазССР. Сер. физ-мат. 1983. № 1. - C. 24-27.
Отелбаев М., Кокебаев Б.К., Шыныбеков А.Н. К вопросам расширения и сужения операторов // Доклады АН СССР. - 1983. Т. 6, № 271. - C. 1307-1311.
Ойнаров Р., Парасиди И.Н. Корректно разрешимые расширения операторов с конечными деффектами в банаховом пространстве // Известие АН КазССР. Сер. физ-мат. 1988. № 5. - C. 35-44.
Koshanov B.D., Otelbaev M.O. Correct Contractions stationary Navier-Stokes equations and boundary conditions for the setting pressure // AIP Conference Proceedings. 2016. №1759. V. 1759, 020005, http://dx.doi.org/10.1063/1.4959619
Kanguzhin B.E. Changes in a finite part of the spectrum of the Laplace operator unter delta-like perturbations // Differential Equations. 2019. V. 10, № 55. - P. 1428-1335.
Kanguzhin B.E., Tulenov K.S. Singular perturbations Changes of Laplace operator and their recolvents // Complex Variables and Elliptic Equations. 2020. V. 9, № 65. - P. 1433-1444.
Biyarov B.N., Svistunov D.L., Abdrasheva G.K. Correct singular perturbations of the Laplace operator // Eurasian Mathematical Journal. 2020. V. 4, № 11. - P. 25-34.
