Линейные и нелинейные диффузионные уравнения дробного порядка с начально-краевыми условиями
Ключевые слова:
уравнение субдиффузии, принцип максимума, дифференциальное уравнение дробного порядка, нелинейная задача, производная Римана-Лиувилля.Аннотация
Дробное исчисление – это обобщение обычного дифференцирования и интегрирования до произвольного нецелого порядка. Это понятие рассчитывается так же, как и классические методы дифференциального и интегрального исчисления, он также восходит к тому времени, когда Лейбниц и Ньютон изобрели дифференциальное исчисление. Идея расчета дробного порядка представляет интерес не только среди отдельных математиков, но и среди физиков и инженеров.
Принципы максимума являются одним из немногих известных методов получения информации о решениях дифференциальных уравнений без какого-либо явного знания самих решений. До недавнего времени принципы максимума формулировались и доказывались только для обычных обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных. В последнее время в связи с развитием задач дифференциальных уравнений дробного порядка метод принципа максимума начал применяться и для анализа дробно-дифференциальных уравнений.
В этой статье исследуется одномерное уравнение субдиффузии с использованием принципа максимума производной Римана-Лиувилля дробного порядка. Доказано, что для уравнений диффузии дробного порядка в линейном и нелинейном времени существует единственное классическое решение исходно-краевой задачи и что решение непрерывно зависит от начальных и граничных условий.
Библиографические ссылки
REFERENCES
Luchko Y. Maximum principle for the generalized time-fractional diffusion equation // Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 2009. – Vol. 251. – P. – 218–222.
Luchko Y. Some uniqueness and existence results for the initial boundary-value problems for the generalized time-fractional diffusion equation // Computers and Mathematics with Applications. – 2010. – Vol. 59. – P. – 1766–1772.
Luchko Y. Initial-boundary-value problems for the generalized multi-term time-fractional diffusion equation // Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 2011. – Vol. 274. – P. – 528–548.
Luchko Y. Boundary value problems for the generalized time-fractional diffusion equation of distributed order // Fractional Calculus and Applied Analysis. – 2009. – Vol. 12, No. 4. – P. –409–422.
Al-Refai M., Luchko Y. Maximum principle for the multi-term time-fractional diffusion equations with the Riemann-Liouville fractional derivatives // Applied Mathematics and Computation. – 2015. – Vol. 257. – P. – 40–51.
Chan C.Y., Liu H.T. A maximum principle for fractional diffusion equations // Quarterly of Applied Mathematics. – 2016. – Vol. 74, No. 2. – P. – 421–427.
Kirane M., Torebek B. T. Extremum principle for the Hadamard derivatives and its application to nonlinear fractional partial differential equations // Fractional Calculus and Applied Analysis. -2019. – Vol. 22, No. 2. – P. – 258–278.
Luchko Y., Yamamoto M. On the maximum principle for a time-fractional diffusion equation // Fractional Calculus and Applied Analysis. – 2017. – Vol. 20, No. 5. – P. – 1121–1145.
Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. – Amsterdam, London and New York: North-Holland Mathematical Studies, Elsevier (North-Holland) Science Publishers, 2006. – 522 p.
Al-Refai M., Luchko Y. Maximum principle for the fractional diffusion equations with the Riemann-Liouville fractional derivative and its applications // Fractional Calculus and Applied Analysis. – 2014. – Vol. 17, No.2. – P. – 483–498.
