Дискретная обратная задача для гиперболического уравнения, свойства решения дискретной прямой и дискретной вспомогательной задач
Ключевые слова:
гиперболическое уравнение, дискретная прямая и обратная задача, задача Коши.Аннотация
В данной работе рассматривается постановка дискретной обратной
задачи для гиперболического уравнения. Сначала непрерывная обратная задача приводится к
удобному виду для исследования. В обратной задаче искомая функция считается чётной. Так
как в данных задачи присутствует дельта-функция Дирака, то определяется структура обобщенного решения задачи Коши для гиперболического уравнения. Решение задачи Коши
для гиперболического уравнения определяется только для положительных значений по
времени, поэтому решение задачи Коши для отрицательных значений по времени
определяется с помощью нечётного продолжения. После некоторых преобразований
постановка непрерывной обратной задачи сводится к удобному для исследования виду.
Вводится сеточная область, для всех функций в постановке задачи определяется
соответствующие сеточные функции и дискретный аналог дельта-функции Дирака.
Дифференциальные операторы, начальные условия и дополнительные данные обратной
задачи аппроксимируются конечными разностями. Предполагая, что решение дискретной
обратной задачи существует, доказывается лемма о данных дискретной обратной задачи. С
целью исследования дискретной обратной задачи для гиперболического уравнения
доказывается теорема существования и единственности дискретной прямой задачи, а также о
свойствах решения этой дискретной задачи. В ходе доказательства теоремы получен
дискретный аналог формулы Даламбера решения задачи Коши для гиперболического
уравнения. Доказывается теорема о существовании единственного решения и свойствах
вспомогательной дискретной задачи.
Библиографические ссылки
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
Romanov V. G. On justification of the Gelfand–Levitan–Krein method for a two-dimensional
inverse problem //Siberian Mathematical Journal. – 2021. – Т. 62. – №. 5. – p. 908-924.
Kabanikhin S. I., Novikov N. S., Shishlenin M. A. Gelfand-Levitan-Krein method in onedimensional elasticity inverse problem //Journal of Physics: Conference Series. – IOP Publishing,
– Т. 2092. – №. 1. – p. 012022.
Kabanikhin S., Shishlenin M., Novikov N. and Prokhoshin N. Spectral, Scattering and Dynamics:
Gelfand–Levitan–Marchenko–Krein Equations //Mathematics. – 2023. – Т. 11. – №. 21. – p. 4458.
S.Kabanikhin, M.Shishlenin, G.Bakanov. Multidimensional analogue of Krein equation for the
inverse acoustic problem // Abstracts of the VII World Congress of Turkic World Mathematicians
(TWMS Congress-2023) – р.312.
Bektemessov M., Temirbekova L. Discretization of equations Gelfand-Levitan-Krein and
regularization algorithms //Journal of Physics: Conference Series. – IOP Publishing, 2021. – Т. 2092.
– №. 1. – p. 012015.
Temirbekov N.M., Kabanikhin S.I., Temirbekova L.N., Demeubayeva Zh.E. “Gelfand-Levitan
integral equation for solving coefficient inverse problem”. International scientifically-technical
journal herald to National Engineering Academy of the Republic of Kazakhstan, No. 3(85), (2022):
p.158-167. https:/doi.org/10.47533/2020.1606-146X.184
Каримов Ш. Т., Мамадалиева Ш. Г. Решение коэффициентной обратной задачи для
гиперболического уравнение сведением её у уравнению Гелфанда-Левитана первого
рода//Finland International Scientific Journal of Education, Social Science & Humanities. – 2022. –
Т. 10. – №. 12. – С. 142-151 8. Исламов Э. Р., Мамадалиева Ш. Г. Решение коэффициентной обратной задачи для
гиперболического уравнение сведением её у уравнению Гелфанда-Левитана второго рода
//Finland International Scientific Journal of Education, Social Science & Humanities. – 2022. – Т.
– №. 12. – С. 399-404.
Алыбаев А. М. Регуляризация обратной задачи с оператором гиперболического типа, где
вырождается некорректное уравнение Вольтерра первого рода // Международный журнал
прикладных и фундаментальных исследований. – 2022. – № 7 – С. 57-71.
Кабанихин С. И., Криворотько О. И. Оптимизационные методы решения обратных задач
иммунологии и эпидемиологии //Журнал вычислительной математики и математической
физики. – 2020. – Т. 60. – №. 4. – С. 590-600.
Пененко А. В. Метод Ньютона–Канторовича для решения обратных задач идентификации
источников в моделях продукции–деструкции с данными типа временных рядов //Сибирский
журнал вычислительной математики. – 2019. – Т. 22. – №. 1. – С. 57-79.
Ватульян А. О., Нестеров С. А. Решение обратной задачи об идентификации двух
термомеханических характеристик функционально-градиентного стержня //Известия
Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. –
– Т. 22. – №. 2. – С. 180-195.
Konuk T., Shragge J. Modeling full-wavefield time-varying sea-surface effects on seismic data: A
mimetic finite-difference approach //Geophysics. – 2020. – Т. 85. – №. 2. – p. T45-T55.
https://doi.org/10.1190/geo2019-0181.1
Романов В.Г.Обратные задачи математической физики.-М.:Наука, 1984. 264 с.
REFERENCES
Romanov V. G. On justification of the Gelfand–Levitan–Krein method for a two-dimensional
inverse problem // Siberian Mathematical Journal. – 2021. – Т. 62. – №. 5. – p. 908-924.
Kabanikhin S. I., Novikov N. S., Shishlenin M. A. Gelfand-Levitan-Krein method in onedimensional elasticity inverse problem //Journal of Physics: Conference Series. – IOP Publishing,
– Т. 2092. – №. 1. – p. 012022.
Kabanikhin S., Shishlenin M., Novikov N. and Prokhoshin N. Spectral, Scattering and Dynamics:
Gelfand–Levitan–Marchenko–Krein Equations //Mathematics. – 2023. – Т. 11. – №. 21. – p. 4458.
S.Kabanikhin, M.Shishlenin, G.Bakanov. Multidimensional analogue of Krein equation for the
inverse acoustic problem // Abstracts of the VII World Congress of Turkic World Mathematicians
(TWMS Congress-2023) – р.312.
Bektemessov M., Temirbekova L. Discretization of equations Gelfand-Levitan-Krein and
regularization algorithms // Journal of Physics: Conference Series. – IOP Publishing, 2021. – Т.
– №. 1. – p. 012015.
Temirbekov N.M., Kabanikhin S.I., Temirbekova L.N., Demeubayeva Zh.E. Gelfand-Levitan
integral equation for solving coefficient inverse problem // International scientifically-technical
journal herald to National Engineering Academy of the Republic of Kazakhstan, No. 3(85), (2022):
p.158-167. https:/doi.org/10.47533/2020.1606-146X.184
Karimov Sh. T., Mamadalieva Sh. G. Reshenie koeffitsientnoy obratnoy zadachi dlya
giperbolicheskogo uravnenie svedeniem eYo u uravneniyu Gelfanda-Levitana pervogo roda
//Finland International Scientific Journal of Education, Social Science & Humanities. – 2022. – Т.
– №. 12. – p. 142-151. (in Russian)
Islamov E. R., Mamadalieva Sh. G. Reshenie koeffitsientnoy obratnoy zadachi dlya
giperbolicheskogo uravnenie svedeniem eYo u uravneniyu Gelfanda-Levitana vtorogo roda //Finland
International Scientific Journal of Education, Social Science & Humanities. – 2022. – Т. 10. – №.
– p. 399-404. (in Russian)
Alyibaev A. M. Regulyarizatsiya obratnoy zadachi s operatorom giperbolicheskogo tipa, gde
vyirozhdaetsya nekorrektnoe uravnenie Volterra pervogo roda // Mezhdunarodnyiy zhurnal
prikladnyih i fundamentalnyih issledovaniy. – 2022. – № 7 – p. 57-71. (in Russian) 10. Kabanihin S. I., Krivorot’ko O. I. Optimizatsionnyie metodyi resheniya obratnyih zadach
immunologii i epidemiologii //Zhurnal vyichislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki.– 2020. –
Т. 60. – №. 4. – p. 590-600. (in Russian)
Penenko A. V. Metod Nyutona–Kantorovicha dlya resheniya obratnyih zadach identifikatsii
istochnikov v modelyah produktsii–destruktsii s dannyimi tipa vremennyih ryadov //Sibirskiy
zhurnal vyichislitelnoy matematiki. – 2019. – Т. 22. – №. 1. –p. 57-79. (in Russian)
Vatulyan A. O., Nesterov S. A. Reshenie obratnoy zadachi ob identifikatsii dvuh
termomehanicheskih harakteristik funktsionalno-gradientnogo sterzhnya //Izvestiya Saratovskogo
universiteta. Novaya seriya. Seriya Matematika. Mehanika. Informatika.– 2022. – Т. 22. – №. 2. – p.
-195. (in Russian)
Konuk T., Shragge J. Modeling full-wavefield time-varying sea-surface effects on seismic data: A
mimetic finite-difference approach //Geophysics. – 2020. – Т. 85. – №. 2. – p. T45-T55.
https://doi.org/10.1190/geo2019-0181.1
Romanov V.G. Obratnye zadachi matematicheskoj fiziki.- M.:Nauka, 1984. 264р. (in Russian)
