Hadamard Tipi Türevli Kesirli Diferansiyel Denklemin Çözümünü Oluşturma Yöntemi Üzerine

5 3

Özet

Bu makalede, Hadamard türevini ve onun çeşitli modifikasyonlarını içeren kesirli mertebeden diferansiyel denklemlere yönelik kapsamlı bir analiz sunulmaktadır. Temel odak noktası, çarpımsal ölçek ve logaritmik bağımlılığa sahip süreçlerin incelenmesinde analitik araçları önemli ölçüde genişleten Hadamard–Caputo operatörlerinin özellikleridir. Çalışmada, genelleştirilmiş homojenlik kavramına dayanan normalize edilmiş sistemler yöntemi ayrıntılı biçimde ele alınmakta; bu sayede çözümlerin inşası için birleşik ve etkili bir yaklaşım elde edilmektedir. Söz konusu yöntem daha önce ağırlıklı olarak tam mertebeli denklemlere uygulanmışken, bu makalede Hadamard’a ait çok daha karmaşık bir integro-diferansiyel operatörler sınıfına uyarlanmıştır.

Homojen denklem için, katsayıları гамма (gamma) fonksiyonu ve Pochhammer sembolü cinsinden ifade edilen fonksiyonel bir seri biçiminde açık bir çözüm formülü türetilmektedir. Bu serinin mutlak yakınsaklığa sahip olduğu ve tüm karmaşık düzlemde analitik bir fonksiyon tanımladığı gösterilmektedir. Gayrihomojen denklem durumunda ise, sağ ters operatörün kullanılmasıyla özel çözümün inşasına yönelik bir yöntem verilmekte; bu sayede çözüm kapalı formda elde edilebilmektedir. Problemin iyi-kurulmuşluğu (doğruluk koşulları) için gerekli koşullar belirlenmektedir. Elde edilen sonuçlar, kesirli hesap teorik temelini genişletmekte ve Hadamard operatörleri alanındaki araştırmalar için yeni perspektifler açmaktadır.