Uzay-zamansal tekil olmayan difüzyon denklemi için doğrudan görev (doğrudan problem)
9 4
Özet
Bu makalede, uzay-zamansal tekillikli ve yerel olmayan difüzyon denklemi için doğrudan problem ele alınmaktadır. Legendre diferansiyel denklemiyle ilişkili spektral kesirli-lineer denklemlerin çözümleri incelenmektedir. Öncelikle çözümün varlık ve tekillik koşulları belirlenmiş, gerekli düzenlilik kısıtlamaları getirilmiştir. Problemin çözümü için değişkenlerin ayrılması yöntemi uygulanmıştır. Bu temelde çözümler, Legendre ortogonal polinomları aracılığıyla ifade edilen seriler biçiminde elde edilmiştir. Ayrıca serilerin yakınsaklığı, çözümlerin düzgünlüğü ve fonksiyonel özellikleri ayrıntılı olarak analiz edilmiştir.
Makale kapsamında Caputo anlamında kesirli türevler, Riemann–Liouville integralleri ve involüsyon tipi operatörler incelenmektedir. Teorem ve lemalar temelinde spektral problemlerin özdeğerleri ve özfonksiyonları belirlenmiştir. Çözümlerin düzgün ve mutlak yakınsaklığı, ayrıca verilen başlangıç-sınır koşullarına uygunluğu kanıtlanmıştır.
Genel olarak, çalışma kesirli mertebedeki diferansiyel denklemler teorisine katkı sağlamakta, doğrudan problemlerin çözümüne yönelik yeni yaklaşımlar önermekte ve ters problemler teorisinde uygulama olanakları için zemin hazırlamaktadır. Elde edilen sonuçlar, matematiksel fizik ve uygulamalı modellerdeki karmaşık problemlerin çözümünde kullanılabilir. Ayrıca önerilen yöntemler, özel problemlerin sayısal çözümlerini geliştirmeye olanak sağlamaktadır.
Referanslar
Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., & Trujillo, J. J. (2006). Theory and application of fractional differential equations (1st ed.). Elsevier Science B.V.
Tenreiro, J. A. (2019). Recent history of the fractional calculus: Data and statistics. Basic Theory, 1.
Luchko, Y. (2011). Initial-boundary-value problems for the generalized multi-term time-fractional diffusion equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 374, 538–548.
Abdullaev, O. K., & Sadarangani, K. B. (2016). Non-local problems with integral gluing condition for loaded mixed type equations involving the Caputo fractional derivative. Electronic Journal of Differential Equations.
Karimov, E., Mamchuev, M., & Ruzhansky, M. (2020). Non-local initial problem for second order time-fractional and space-singular equation. Hokkaido Mathematical Journal, 49(2), 349–361.
Turmetov, B. K., & Kadirkulov, B. J. (2021). An inverse problem for a parabolic equation with involution. Lobachevskii Journal of Mathematics, 42(12), 3006–3015.
Turmetov, B., & Karachik, V. (2024). On solvability of some inverse problems for a nonlocal fourth-order parabolic equation with multiple involution. AIMS Mathematics, 9(3), 6832–6849.
Ruzhansky, M., Serikbaev, D., Torebek, B. T., & Tokmagambetov, N. (2022). Direct and inverse problems for time-fractional pseudo-parabolic equations. Quaestiones Mathematicae, 45(7), 1071–1089.
Naimark, M. A. (1968). Linear differential operators: Part II. Ungar.
Beroudj, M. E., Kirane, M., & Mennouni, A. (2025). An inverse problem for an evolution equation with a time fractional derivative of order involving Legendre polynomials. Discrete and Continuous Dynamical Systems - S.
