О МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ПРОИЗВОДНОЙ ТИПА АДАМАРА

5 3

Аннотация

В данной статье предлагается всесторонний анализ дифференциальных уравнений дробного порядка, включающих производную Адамара и её различные модификации. Основное внимание уделяется особенностям операторов Адамара–Капуто, которые значительно расширяют аналитический инструментарий при исследовании процессов с мультипликативной шкалой и логарифмической зависимостью. В работе подробно рассматривается метод нормированных систем, основанный на концепции обобщённой однородности, что позволяет получить единый и эффективный подход к построению решений. Этот метод ранее применялся преимущественно к уравнениям целого порядка, однако в данной статье он адаптирован к существенно более сложному классу интегро-дифференциальных операторов Адамара.

Для однородного уравнения выводится явная формула решения в виде функционального ряда с коэффициентами, выраженными через гамма-функцию и символ Похгаммера. Показано, что этот ряд обладает абсолютной сходимостью и определяет аналитическую функцию на всей комплексной плоскости. В случае неоднородного уравнения приводится метод построения частного решения с применением правого обратного оператора, что позволяет получать решение в замкнутом виде. Установлены условия корректности задачи. Полученные результаты расширяют теоретическую базу дробного исчисления и открывают новые перспективы для исследований в области операторов Адамара.