ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО СИНГУЛЯРНО-НЕЛОКАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ
9 2
Аннотация
В данной статье рассматривается прямая задача для пространственно-временного сингулярно-нелокального уравнения диффузии. Исследуются решения спектральных дробно-линейных уравнений, связанных с дифференциальным уравнением Лежандра. В начале устанавливаются условия существования и единственности решения, вводятся необходимые регулярные ограничения. Для решения задачи применяется метод разделения переменных. На этой основе решения получаются в виде рядов, выражаемых через ортогональные многочлены Лежандра. Также подробно анализируется сходимость рядов, гладкость решений и их функциональные свойства.
В статье рассматриваются дробные производные в смысле Капуто, интегралы Римана–Лиувилля и операторы инволюционного типа. На основе теорем и лемм определяются собственные значения и собственные функции спектральных задач. Доказана равномерная и абсолютная сходимость решений, а также их соответствие заданным начально-краевым условиям.
В целом, работа вносит вклад в теорию дифференциальных уравнений дробного порядка, предлагая новые подходы к решению прямых задач и создавая предпосылки для применения в теории обратных задач. Полученные результаты могут использоваться при решении сложных задач математической физики и в прикладных моделях. Кроме того, предложенные методы позволяют улучшить численные решения специальных задач.
Библиографические ссылки
Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., & Trujillo, J. J. (2006). Theory and application of fractional differential equations (1st ed.). Elsevier Science B.V.
Tenreiro, J. A. (2019). Recent history of the fractional calculus: Data and statistics. Basic Theory, 1.
Luchko, Y. (2011). Initial-boundary-value problems for the generalized multi-term time-fractional diffusion equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 374, 538–548.
Abdullaev, O. K., & Sadarangani, K. B. (2016). Non-local problems with integral gluing condition for loaded mixed type equations involving the Caputo fractional derivative. Electronic Journal of Differential Equations.
Karimov, E., Mamchuev, M., & Ruzhansky, M. (2020). Non-local initial problem for second order time-fractional and space-singular equation. Hokkaido Mathematical Journal, 49(2), 349–361.
Turmetov, B. K., & Kadirkulov, B. J. (2021). An inverse problem for a parabolic equation with involution. Lobachevskii Journal of Mathematics, 42(12), 3006–3015.
Turmetov, B., & Karachik, V. (2024). On solvability of some inverse problems for a nonlocal fourth-order parabolic equation with multiple involution. AIMS Mathematics, 9(3), 6832–6849.
Ruzhansky, M., Serikbaev, D., Torebek, B. T., & Tokmagambetov, N. (2022). Direct and inverse problems for time-fractional pseudo-parabolic equations. Quaestiones Mathematicae, 45(7), 1071–1089.
Naimark, M. A. (1968). Linear differential operators: Part II. Ungar.
Beroudj, M. E., Kirane, M., & Mennouni, A. (2025). An inverse problem for an evolution equation with a time fractional derivative of order involving Legendre polynomials. Discrete and Continuous Dynamical Systems - S.
