О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНОГО ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

3 5

Аннотация

В данной работе исследуются вопросы разрешимости некоторых краевых задач для нелокального полигармонического уравнения. Бейлокальный полигармонический оператор вводится с помощью отображений типа инволюции через новый класс нелокальных полигармонических операторов. Рассматриваются краевые задачи с условиями Дирихле и граничными операторами дробного порядка. Исследуется разрешимость краевой задачи с условием Дирихле для соответствующего нелокального полигармонического уравнения. Сначала доказывается существование и единственность решения задачи D, формулируется соответствующая теорема. На основе этой теоремы получен явный вид функции Грина и интегральное представление решения задачи D. Вторая рассматриваемая задача включает граничные операторы дробного порядка, которые определяются с помощью модифицированных производных Адамара. Приводятся свойства взаимной обратимости интегро-дифференциальных операторов  Адамара  и , а также устанавливается гладкость функций  и   в классах Гёльдера. На основе этих свойств интегро-дифференциальных операторов доказывается существование и единственность решения задачи  при условии , а в случае   определяется необходимое и достаточное условие существования решения задачи . В итоге, для рассматриваемых задач доказываются теоремы, подтверждающие существование и единственность их решений.