ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ПАНТОГРАФА
55 52
Ключевые слова:
уравнение пантографа, сходимость, краевая задача, метод параметризации, разрешимость, задача Коши.Аннотация
Уравнения пантографа и типа пантографа изучаются издавна. В 1940 г. K. Mahler ввел функционально-дифференциальные уравнения такого типа в теорию чисел. 1971 году J. Ockendon функционально-дифференциальное уравнение с преобразованным аргументом, , было использована для описания динамики токоприемника (пантографа) электровоза. В дальнейшем уравнения типа пантографа изучались в работах многих авторов.
В данной статье рассматривается краевая задача для дифференциального уравнения типа пантографа. Для решение поставленной краевой задачи применяется метод параметризации предложенный профессором Д.Джумабаевым. Для этого, значение функции в начальной точке рассматриваемого отрезка, обозначим через параметр и выполним замену переменной Тогда разрешимость исходной краевой задачи сводится к исследованию разрешимости полученной задачи Коши для исходного уравнения и к линейному алгебраическому уравнению для определения введенного параметра. Далее, применяя метод последовательных приближении находим решения задачи Коши для уравнения типа пантографа. Доказывается сходимость полученной последовательности и сходимость его решения к решению задачи Коши для уравнения типа пантографа. Требуя непрерывность свободного члена, устанавливаем его однозначную разрешимость. Полученное решение подставляя в линейное алгебраическое уравнения определим введенный параметр через исходные данные. Полученные выражение подставляя в находим решение исходной задачи. И предполагая однозначную разрешимость линейного алгебраического уравнения, устанавливаем разрешимость краевой задачи для уравнения типа пантографа.
Библиографические ссылки
K. Mahler. On a special functional equation. J. London Math. Soc. – 1940. -1(2). - P. 115-123.
L. Fox, D. F. Mayers, J. R. Ockendon and A. B. Tayler. On a functional differantical equation. IMA Journal of Applied Mathematics. – 1971. - 8(3). -P. 271-307.
G R Morris, A Feldstein, and E W Bowen, The Phragmen Lindelof principle and a class of functional differential equations. Ordinary Differential Equations// Academic Press, New York. – 1972. – P. 513-540.
Быков Я.В., Быкова Л.Я., Шевцов Е.И. Достаточные условия осцилляторности решений нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. - 1973. - Т. 9, - № 9. - С. 1555–1560.
Родионов В.И. Аналог функции Коши для обобщенного уравнения с несколькими отклонениями аргумента // Дифференц. уравнения. - 2013. - Т. 49, - № 6. - С. 690–706.
A.Iserles, Yunkang Liu. Integro-differential equations and generalized hypergeometric functions. Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge, 1995
Dzhumabayev D.S. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential equation// Computational Mathematics and Mathematical Physics. -1989. -Vol.29, - No. 1. - P. 34-46.
Джумабаев Д.С. Об одном методе решения линейной краевой задачи для интегродифференциального уравнения // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 2010. - Т. 50, - № 7. - С. 1209-1221.
Dulat Dzhumabaev, “Computational methods of solving the boundary value problems for the loaded differential and Fredholm integro-differential equations”, Mathematical Methods in the Applied Sciences. – 2018. - 41(4). - P. 1439-1462.
Nazarova K.Zh., Usmanov K.I. Unique solvability of the boundary value problem for integro-differential equations with involution // AIP Conference Proceedings. – 2021. – 2365(070012).
K. Nazarova, K. Usmanov., Оn a boundary value problem for systems of
integro-differential equations with involution // International Journal of Applied Mathematics. - 2021. –Vol.34. - P. 225-235.
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: МЦНМО, 2018. - 344 с.
K Mahler. On a special functional equation. J. London Math. Soc. – 1940. -1(2). - P. 115-123.
L Fox, D F Mayers, J R Ockendon and A B Tayler. On a functional differantical equation. IMA Journal of Applied Mathematics. – 1971. - 8(3). -P. 271-307.
G R Morris, A Feldstein, and E W Bowen, The Phragmen Lindelof principle and a class of functional differential equations. Ordinary Differential Equations// Academic Press, New York. – 1972. – P. 513-540.
Bykov Ya.V., Bykova L.Ya., Shevtsov E.I. Sufficient conditions for the oscillatory nature of solutions of nonlinear differential equations with deviating argument // Differents. Equations. - 1973. - T. 9, - No. 9. - P. 1555–1560.
Rodionov V.I. Analogue of the Cauchy function for a generalized equation with several deviations of the argument // Differents. Equations. - 2013. - T. 49, - No. 6. P. 690–706.
A.Iserles, Yunkang Liu. Integro-differential equations and generalized hypergeometric functions. Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge, 1995
Dzhumabayev D.S. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential equation// Computational Mathematics and Mathematical Physics. -1989. -Vol.29, - No. 1. - P. 34-46.
D. S. Dzhumabaev, “On a method for solving a linear boundary value problem for an integrodifferential equation”, Comput. Math. Math. Phys., - 2010. - Т. 50, - № 7. - P. 1209-1221.
Dulat Dzhumabaev, “Computational methods of solving the boundary value problems for the loaded differential and Fredholm integro-differential equations”, Mathematical Methods in the Applied Sciences. – 2018. - 41(4). - P. 1439-1462.
Nazarova K.Zh., Usmanov K.I. Unique solvability of the boundary value problem for integro-differential equations with involution // AIP Conference Proceedings. – 2021. – 2365(070012).
K. Nazarova, K. Usmanov., Оn a boundary value problem for systems of
integro-differential equations with involution // International Journal of Applied Mathematics. - 2021. –Vol.34. - P. 225-235.
Arnold V.I. Ordinary differential equations. M.: MTsNMO, 2018. - 344 p.
